viernes, 10 de abril de 2009

Cálculos interesantes I

¿Cuánto tiempo tardaría una colonia de bacterias, comenzando a partir de una, en ocupar todo el universo observable, dadas las condiciones adecuadas?

Clostridium perfringens es el nombre de una bacteria que se reproduce muy rápido: luego de 10 minutos duplica su población (PSEUDOMONAS NATRIEGENS, con 9.8 minutos de intervalo entre duplicación y duplicación, tiene probablemente el record). Hagamos entonces nuestra tarea y realicemos el cálculo utilizando a esta bacteria como ejemplo. Supongamos entonces que tenemos a esta bacteria en condiciones reproductivas óptimas, y se comienza a reproducir, y logra sobrevivir lo suficiente, junto con todos sus descendientes, hasta el momento en que ocupan el universo observable entero.

- Instante cero: tenemos una sola bacteria (nro. total de bacterias: 1).
- Primera reproducción, luego de 10 minutos: esta bacteria se divide en dos (nro. total de bacterias: 2).
- Segunda reproducción, luego de 20 minutos: esta bacteria se ha dividido en cuatro (nro. total de bacterias: 4).
- Tercera reproducción, luego de 30 minutos: esta bacteria se ha dividido en ocho (nro. total de bacterias: 8).

Vemos que el tiempo va aumentando de 10 en 10 (eso se llama crecimiento lineal), mientras que el número total de bacterias se va duplicando (eso se llama crecimiento geométrico, y para funciones se llama crecimiento exponencial):

Luego de “n” reproducciones: esta bacteria se divide 2x2x2x2x2x2… (hay que multiplicar el número 2 “n” veces para obtener el resultado). La notación con exponentes nos ayuda más, pero como blogger no permite usar símbolos matemáticos, usaré el símbolo ^ como símbolo de que voy a elevar un número “x” a la potencia “n”, osea, escribiría x^n. Así que el número total de bacterias, luego de n reproducciones, es 2^n. El número de reproducciones está relacionado con el tiempo que transcurre. El tiempo cuando n=1 es 10 minutos, cuando n=2 es 20 minutos, y así sucesivamente.

Por otro lado, el radio del universo observable es de 46.5 miles de millones de años luz (http://en.wikipedia.org/wiki/Observable_universe). Transformando esto a unidades de metros, obtenemos que el radio del universo observable es: R=46.5x(10^9)x365x24x60x60x3x(10^8) metros =4.4x(10^26) metros

El volumen del universo observable, que asumimos es el de una esfera, es:

V= (4/3)xpix(R^3)

Donde pi es el número pi: 3.14…

Insertando el valor de R, el volumen es entonces:

Vuniverso= 3.6x(10^80) metros cúbicos.

Este es un volumen inimaginablemente grande.

El tamaño de una bacteria oscila el micrómetro (0.000001 metros o 10^-6 metros). Su volumen, si asumimos que este valor es un radio, y que la forma de la bacteria es esférica, es entonces: Vbacteria=4.2x(10^-18) metros cúbicos, que es un volumen pequeñito. Bien, pues parecería que debería pasar mucho tiempo para que las bacterias llenen todo el universo observable. Veamos si es así.

Luego de 600 minutos (10 horas), el número de reproducciones “n” es 60. Luego de 60 divisiones celulares tenemos entonces 2^60 bacterias: un número que, en notación científica, es 6 000 000 000 veces más grande que el número de habitantes de la Tierra. Tendríamos para ese entonces la formidable cantidad de 1.1x(10^18) bacterias.

Multiplicando por el volumen de una bacteria, tendríamos entonces un volumen de la colonia de bacterias igual a 4.62 metros cúbicos. Apenas el tamaño de un ascensor pequeño. Lo que es muy decepcionante. A este paso podríamos pensar que en verdad tendríamos que esperar mucho tiempo para llenar el universo de bacterias. En lugar de ir probando, calculemos el valor requerido de una vez por todas. Queremos el número de divisiones celular “n” tal que el volumen total de bacterias equipare al volumen del universo observable. Entonces:

(2^n)xVbacteria=Vuniverso

Despejando:

2^n= Vuniverso/Vbacteria

Aplicando logaritmo natural (ln) a ambos lados de la ecuación y volviendo a despejar “n”:

n=[ln(Vuniverso/Vbacteria)]/ln(2)

Reemplazando los datos, “n” resulta ser (redondeando, pues no “n” tiene que ser un número entero):

n=325

Eso quiere decir que después de 3250 minutos (o 54 horas, o un poco más de dos días) el universo observable completo estará lleno de bacterias. Tendremos un total de 6.8x10^97 bacterias, 10^17 veces más que el número calculado de partículas en el universo. En la realidad, el universo no se llena de bacterias luego de 54 horas porque no hay alimento infinito y las bacterias tienden a quitarse espacio entre sí.

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